ما هو المعنى المادي والهندسي للمشتق؟


TEDx بيتر جوزيف - مقدمة للاقتصاد القائم على الموارد (قد 2019).

Anonim

أحد المواضيع الرئيسية في المناهج الدراسية هو التمييز أو ، في لغة أكثر مفهومة ، مشتق من وظيفة. من الصعب عادة على الطالب أن يفهم ما هو المشتق وما هو معنىه المادي. يمكن الحصول على الإجابة على هذا السؤال إذا كنا الخوض في المعنى المادي والهندسي للمشتق. في هذه الحالة ، تكتسب الصيغة التي لا حياة لها معنى واضحًا حتى بالنسبة للإنسانيات.

في أي كتاب مدرسي ، ستجد التعريف بأن المشتق هو نسبة الزيادة في الدالة إلى زيادة الوسيطة ، مع مراعاة الزيادة في الوسيطة إلى الصفر. يتحدث بلغة أكثر مفهومة وبسيطة ، ويمكن استبدال كلمة الزيادة بأمان من قبل مصطلح التغيير. إن ﻣﻔﻬﻮم اﻟﺴﻌﻲ ﻟﻠﺤﺠﺔ إﻟﻰ اﻟﺼﻔﺮ ﻣﻦ ﺷﺄﻧﻪ أن ﻳﺴﺘﺤﻖ اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺑﻌﺪ ﻣﺮوره ﺑﻤﻔﻬﻮم " اﻟﺤﺪود ". ومع ذلك ، في معظم الأحيان هذه الصيغ وجدت في وقت سابق بكثير. لفهم المصطلح "يميل إلى الصفر" ، عليك أن تتخيل كمية ضئيلة صغيرة جدًا بحيث لا يمكن الكتابة بشكل رياضي.

مثل هذا التعريف يبدو مربكا للطالب. لتبسيط الصياغة ، من الضروري فهم المعنى المادي للمشتق . أذكر أي عملية فيزيائية. على سبيل المثال ، حركة السيارة على قسم الطريق. من المقرر الدراسي في الفيزياء من المعروف أن سرعة هذه السيارة هي نسبة المسافة المقطوعة إلى الوقت الذي يتم تمريره. ولكن بهذه الطريقة ، من المستحيل تحديد السرعة الآنية للسيارة في وقت معين. عندما يتم تنفيذ التقسيم ، يتم الحصول على متوسط ​​السرعة عبر المسار بأكمله. حقيقة أنه في مكان ما كانت السيارة في إشارة ضوئية ، وفي مكان ما كان يقود إلى أسفل مع سرعة أكبر لا يؤخذ بعين الاعتبار.

هذه المشكلة المعقدة يمكن حلها عن طريق مشتق. يتم تمثيل وظيفة حركة السيارة في شكل فترات زمنية صغيرة (أو قصيرة) بشكل لا نهائي ، في كل منها يمكن تطبيق التمايز ويمكن التعرف على تغيير الوظيفة. هذا هو السبب في تعريف المشتق ، هناك ذكر للزيادة متناهية الصغر من الوسيطة. وبالتالي ، فإن المعنى المادي للمشتق هو أنه معدل التغيير للوظيفة. تميز وظيفة السرعة بمرور الوقت ، يمكنك الحصول على قيمة سرعة السيارة في وقت معين. هذا الفهم مفيد عند دراسة أي عملية. في الواقع ، في العالم الحقيقي المحيط لا توجد تبعيات صحيحة مثالية.

إذا كنا نتحدث عن المعنى الهندسي للمشتق ، فإنه يكفي أن نتخيل رسم بياني لأي وظيفة لا تعتمد على خط مستقيم. على سبيل المثال ، فرع من القطع المكافئ أو أي منحنى غير منتظم. يمكنك دائمًا رسم ظل لهذا المنحنى ، وستكون نقطة الاتصال بين المماس والرسم البياني هي القيمة المطلوبة للوظيفة في هذه النقطة. تحدد الزاوية التي يتم فيها سحب هذا المماس إلى المحور السيني المشتق. وبالتالي ، فإن المعنى الهندسي للمشتق هو زاوية ميل المماس إلى الرسم البياني للوظيفة.