ما هو تسلسل فيبوناتشي؟ لماذا تلك مميزة للغاية؟

Inner Worlds, Outer Worlds - Part 2 - The Spiral (أبريل 2019).

Anonim

الرياضيات هي دراسة الأنماط. في حين أن جميع الأنماط تميل إلى التوافق مع القواعد الصارمة للمنطق ، إلا أن القليل منها فقط يعزز الإبداع. من السخيف بالنسبة لي كيف يمكن لمعادلة واحدة ، وبوصة واحدة ، أن تمتلك يدك مؤقتًا وتؤدي بك إلى رسم أروع الأشكال. من اللافت للنظر كيف يمكن تخفيض هذه الأرقام المعقدة إلى ثلاثة رموز وخطين متوازيين. أستخدم مصطلح "امتلاك" لأنه ، في هذه اللحظة ، نقوم بشكل أعمى بما تقوم به المعادلات ، والثقة بالنبوة ، نبدأ بوضع علامات على النقاط ، والتي في البداية تبدو غير قابلة للربط.

ومع ذلك ، فإننا نواصل الخضوع. ترفض الأدوات والحكاز البغيض أن ترفع حتى يصبح الانطباع على الورق مجموعة من النقاط اللامحدودة. النقاط السوداء التي تركها قلم رصاص ونقاط بيضاء منقطعة من البوصلة. النقاط اللامحدودة تفتح نفسها بسرعة وتطابق تمامًا كما يتطلب المنطق. في حين أن المسرات الحد الأدنى في دائرة ، المسرات المجردة في متعدد الوجوه.

ثم هناك أنماط رقمية ، سلسلة من الأرقام التي تكرر بشكل دوري. البشر هم بطبيعتهم كائنات بحثية. في الواقع ، نحن بارعون جدا في ربط النقاط بأن هذه الأنماط ليست حصرية للنقاط ، ولكنها تمتد أيضا إلى سياقات. ويرتبط ظهور نمط أو شكل مع الرذيلة أو الفضيلة بحدوث الاثنين. لقد كانوا القوة الدافعة وراء الطوائف في عدد لا يحصى من المجتمعات.

رمز المتنورين وااو! الإشارة (الصورة: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedia Commons)

هناك عنصر من الورع الذي ارتبط الناس طويلا مع شخصيات وجماعات معينة ، مثل المتنورين . من ناحية أخرى ، يفضل العلماء وعلماء الرياضيات ربط شكل من أشكال الغموض الفكري بمثل هذه الأنماط. النظر في نجاح باهر! إشارة ، وهو نمط من الحروف الهجائية تلقت بشكل غير متوقع بين الأعداد من قبل تلسكوب راديو الأذن الكبيرة في ولاية أوهايو ، ملمحا إلى نشاط خارج الأرض.

ومع ذلك ، هناك أيضاً نمط من الأرقام لا يحض الغموض فحسب ، بل على القداسة ، لأنه يظهر في أماكن لا يتوقعها المرء أبداً. خذ بعين الإعتبار هذا النمط - 13-3-2-21-1-1-8-5 - الذي رسمه أمين المتحف المقتول جاك ساونير كتلميح لتوم هانكس في شفرة دا فينشي .

أرقام فيبوناتشي

ليوناردو بيسانو ، المعروف باسم فيبوناتشي. (الصورة الفوتوغرافية: د. مانويل في ويكيبيديا الألمانية / ويكيميديا ​​كومنز)

كان فيبوناتشي مفتونًا إلى حد كبير بالرياضيات الهندوسية - العربية. واصل الأوروبيون في ذلك الوقت استخدام المجموعة الواسعة من الأرقام الرومانية ، في حين أن الهندوس والعرب كانوا يتمتعون بفضائل نظام الأرقام الهندوسية العربية - أرقام Base-10 التي تتراوح بين 0-9 - للأجيال. وقرر تقديم هذه الأفكار إلى أوروبا من خلال نشرها في كتابه المبجل للغاية Liber Abaci.

أصبح الكتاب أسطورة. ومع ذلك ، فإن شعبيته قد تقلصت في النهاية إلى مسألتين فقط: الأول ، نظام الأرقام ، الذي بدونه لم يكن من الممكن تحقيق تقدم في الرياضيات الحديثة ؛ والثانية ، مشكلة افتراضية وغير واقعية حول تربية الأرانب. ظهرت أرقام فيبوناتشي لأول مرة كحل لهذه المشكلة.

أرقام فيبوناتشي الغامضة

يمكن للمرء تقسيم التسلسل مع أي رقم للحصول على مثل هذا النمط الدوري. على سبيل المثال ، عندما يتم تقسيم الأرقام على 7 ، تظهر 16 فترة. وبالمثل ، فإن طول الفترة هو 20 عندما يكون المقسوم عليه 5. حتى أن القسمة على 1/3 تنتج في شريط طويل من القصاصات المتكررة والمتطابقة. ومع ذلك ، لم يكتشف علماء الرياضيات صيغة عامة تتنبأ بطول فترة واحدة عندما يكون التسلسل مقسومًا على رقم معين.

الحيرة الهائلة الأخرى هي المثلثات غير المحدودة ذات الزاوية اليمنى المخبأة في التسلسل. بدءا من 5 ، كل رقم ثاني في التسلسل هو الوتر لمثلث قائم الزاوية الذي يكون جانبه الأطول هو مجموع كل جوانب المثلث السابق ، والجانب الأقصر هو الفرق بين الرقم المتخطي والجانب الأقصر من السابق مثلث. سيساعد تفسير الصور على فهم هذه المثلثات بشكل أفضل.

ما هو هذا السحر والشعوذة؟

كانت فائدة الرياضيات المجردة هي الحجة الأساسية في الجدل حول ما إذا كانت الرياضيات قد تم اختراعها أو اكتشافها. هناك نظريات توضح أعلى مرتبة من العبقرية والصرامة الحسابية لكنها معزولة تمامًا عن العالم الحقيقي. على سبيل المثال ، اخترع نيوتن حساب التفاضل والتكامل بشكل خاص لتحديد معادلة المسار الذي تتبعه الأرض حول الشمس. وبالطبع ، تبين أن حساب التفاضل والتكامل مربح في عدد لا يحصى من المجالات الأخرى ، ولكن هل يمكننا قول الشيء نفسه عن فرضية ريمان ؟

ومع ذلك ، هناك حالات نادرة تصبح فيها الرياضيات المجردة شديدة الخصوصية قابلة للتطبيق. على سبيل المثال ، طور ريمان مفاهيمه السخيفة للهندسة المنحنية في خمسينيات القرن التاسع عشر ، والتي بدت غير قابلة للتطبيق حتى استخدمها آينشتاين لإعادة اكتشاف قوانين الجاذبية في نظريته النسبية العامة . إن عدم القدرة على التنبؤ بهذه الزيجات الرياضية ما زال يزعجنا.

هذا هو الحال مع الطبيعة الصوفية لأرقام فيبوناتشي أيضًا. على الرغم من اكتشافها في العصور الوسطى ، فقد تم اكتشافها وإعادة اكتشافها ، إلى حيرة الجميع ، في أماكن لم نتوقعها أبدًا. يمتد سحرنا بأرقام فيبوناتشي إلى حد أن مجلة كاملة مكرسة لخصائصها ، تسمى فيبوناتشي الفصلية.

النظر في مثلث باسكال. عندما تم استشارة باسكال من قبل مقامر حول احتمالات نتائج الموت وطبيعة الرهانات ، اخترع نظرية الاحتمال لحل هذه المشاكل. مثلث باسكال هو مثلث أنيق يتكون من معاملات ذات الحدين. يعمل المثلث كجدول يشير إليه المرء أثناء توسيع المعادلة ذات الحدين.

مثلث باسكال. (رصيد الصورة: RDBury / ويكيميديا ​​كومنز)

ومع ذلك ، إذا أردت رسم قطري يتحرك لأسفل المثلث وجمع الأرقام الموجودة على كل قطري على حدة ، فإن سلسلة الأرقام المتساوية مع كل قطري تمثل ، كما توقعت ، أرقام فيبوناتشي. تأسست نظرية الاحتمال بعد 400 سنة من نشر Liber Abaci .

أو ، ضع في اعتبارك مجموعة Mandelbrot ، وهي دالة رياضية يمكن تحديدها بواسطة رسم تخطيطي جميل مرسوم في المستوى المعقد. يبدو أن الرسم البياني عبارة عن ورقة على شكل قلب تحتوي على براعم صغيرة على حوافها. هذه البراعم محشوة بأشواك رفيعة بشكل لا يصدق. يمثل الرسم البياني كسورية ، وهي بنية يتكون كل جزء منها من نفسه. مما يعني أنه إذا استمررت في التكبير ، فستجد أن الهيكل يتكرر في حلقة لا نهائية.

ماندلبروت وضع الرسوم البيانية. (الصورة: وولفغانغ باير مع برنامج Ultra Fractal 3. / ويكيميديا ​​كومنز)

بينما نقوم بتكبير البراعم على الحواف ، نرى أن البرعم يتوسع في الورقة الأصلية وثلاثة براعم جديدة تظهر على حوافها. إذا استمر المرء في التكبير ، سيشهد هذا الموكب يستمر إلى الأبد. ومع ذلك ، عندما نلقي نظرة أعمق وأعمق ، نلاحظ أن عدد الأشواك في كل برعم جديد يزداد. الزيادة في الأرقام تحاكي نمطًا معينًا ؛ إنه تسلسل فيبوناتشي! من كان من الممكن توقع هذا؟

يظهر التسلسل أيضًا في الاقتصاد وفي تتبع نسب النحل الذكور. يستخدم على نطاق واسع في علوم الكمبيوتر ، حيث يتم استخدامه لإنشاء أرقام عشوائية بشكل ملحوظ عن طريق خوارزميات تسمى Pseudorandom Number Generators. أنا أستخدم بشكل ملحوظ لأن الأرقام الناتجة ليست عشوائية حقا ؛ يعتمدون دائما على المدخلات السابقة.

كما أنها تستخدم في فرز الخوارزميات التي تقسم المنطقة إلى نسبتين متتاليتين فيبوناتشي ، وليس جزءين متساويين. هذا يجعل الصيد من موقع لأبسط العمليات الرياضية - الجمع والطرح. حيث أن الفرز الثنائي (يقسم إلى قسمين متساويين) يتطلب استخدام الضرب والقسمة والتغيير في البتات. يستخدم التسلسل أيضًا لاستخلاص هويات رياضية أخرى مهمة. ومع ذلك ، يتم العثور على تطبيق الأكثر أهمية في حدائقنا.

فيبوناتشي دوامة

البارثينون. (صورة فوتوغرافية: Flickr)

اكتشف اليونانيون في نهاية المطاف هذا الجوهر. وفقا لها ، فإن أجمل طريقة لتقسيم خط إلى قسمين هو تقسيمها في نسبة بحيث يكون الجزء الأطول مقسومًا على الجزء الأقصر مساويًا للجزء كله مقسومًا على الجزء الأطول. وصفوا هذه النسبة الذهبية ، وقيمتها 1.618

.

وبناء على ذلك ، قاموا على أساس الفن والهندسة المعمارية على هذه النسبة. مثال على ذلك هي بنية البارثينون ، التي تكون جوانبها في النسبة الذهبية. حتى الفنانين في عصر النهضة كانوا متعاونين مع بعضهم البعض حول استخدام هذه النسبة. يعتمد عدد كبير من أعمالهم الفنية على النسبة لتضخيم جاذبيتها الجمالية.

ما علاقة هذه النسبة الثمينة بأرقام فيبوناتشي؟ ولاحظ كيبلر ذات مرة أن "من 5 إلى 8 حتى 8 إلى 13 ، وعمليا ، و 8 إلى 13 ، وكذلك هو 13 إلى 21 تقريبا." نسبة اثنين فيبوناتشي متتالية يساوي تقريبا * التصفيق البطيء * * النسبة الذهبية! هذا يربط أرقام فيبوناتشي إلى واحدة من أكثر اللوالب المعترف بها على الإنترنت.

يمكن كتابة مربعات أرقام فيبوناتشي على النحو التالي:

1،1،4،9،25،64،169،441

.

لا شيء غامض؟ دعونا نضيف حفنة منهم معا:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

أنظر أقرب وسوف تلاحظ أن 6 هو نتاج 2 و 3 ، 15 منتج من 3 و 5 ، و 40 منتج من 5 و 8. العلاقة الزوجية بين أرقام فيبوناتشي والنسبة الذهبية تصبح بارزة - الرقمان تشكيل هذه المنتجات هي أرقام فيبوناتشي متتالية! الآن ، دعونا نجعل التجميع المذكور أعلاه مصوراً. يمكن تمثيل كل مربع مربع بواسطة مربع يقيس جانبه نفس عدد الوحدات التي يتم تربيعها.

لذا ، يتم تمثيل مربع واحد بساحة من وحدة واحدة جانبية. ثم يضاف هذا المربع إلى المربع التالي في التسلسل - مربع آخر من وحدة واحدة جانبية. بعد ذلك ، يضاف المستطيل 1 × 2 إلى مربع من جانب وحدتين ، ثم يتم إضافتهما إلى مربع من ثلاث وحدات جانبية وهكذا. نحن ندرك أن المنتجات كانت في الواقع مناطق هذه المستطيلات الناشئة.

لأن المنتجات كانت أرقام فيبوناتشي متتالية ، يمكن للمرء أن يميز أن نسبة جانبي أي مستطيل واحد هي النسبة الذهبية! عندما يقترب عدد المبالغ من اللانهاية ، تقترب نسبة جوانب المستطيل المتنامي الحالي من القيمة الصحيحة للنسبة. ينمو المنحنى المنبثق من المركز ويمر عبر زوايا كل مربع تدريجياً إلى دوامة - اللولب الذهبي ، ينحرف بثبات في زاوية تسمى الزاوية الذهبية.

دوامة ذهبية في قذيفة نوتيلوس (نوتيلوس كوتاواي لوغاريتمي لولبي) ومخروط الصنوبر. (Photo Credit: Chris 73 / Wikimedia Commons & Pixabay)

يمكن العثور على اللولب الذهبي في عدد لا يحصى من الأماكن في الطبيعة ، من شكل مجرتنا إلى قذيفة نوتيلوس. يحكم ترتيب مخاريط الصنوبر و fruitlets من الأناناس. بلدي المفضل هو حدوثه في ترتيب بذور تشوش في وسط عباد الشمس. ومع ذلك ، فإن استخدام مصطلح "فوضى" قد يتغاضى بلا خجل عن حجم الصرامة التي تنفقها الطبيعة أثناء تنظيم هذه البذور.

تتباعد بذور عباد الشمس في الزاوية الذهبية. (Photo Credit: Remi Jouan / Wikimedia Commons)

لا تتماشى البذور كما هو الحال مع عجلة العجلة. يتدرجون تدريجيا إلى الخارج. زاوية الاستطراد هي الزاوية الذهبية. يبدو أن الطبيعة اختارت طواعية هذه النسبة لأن تقسيم الدائرة برقم غير منطقي لم يسبّب أي بذار أن يكون لها جار في نفس الزاوية من المركز. نتج عن ذلك كفاءة عالية في التعبئة ، تاركًا أي مساحة خالية للمساحة السلبية. عدد اللوالب ، تسأل؟ 55 في اتجاه واحد ، 89 في الآخر. كلا أرقام فيبوناتشي ، بالطبع!